最難関③では、これまで学んだ図形のベクトル表現を融合させ、入試標準〜やや難〜難の総合問題を攻略する。鍵は「基準点を1つ決め、1次独立な2ベクトルで図形上のすべての点を表す」こと。△ABC なら A を基準に AB→, AC→ をとれば、外心・垂心・内心・重心・交点もすべて s·AB→+t·AC→ の形に書ける。以下、辺の長さを a=BC, b=CA, c=AB（小文字＝向かい合う辺の長さ）と書く。

■ 五心のベクトル表現（A 基準）

心	定義する条件	要点
重心 G	AG→=(AB→+AC→)/3	3頂点の平均。基準が重心なら GA→+GB→+GC→=0→
外心 O	AO→·AB→=\|AB→\|²/2, AO→·AC→=\|AC→\|²/2	各辺の垂直二等分線上（中点を通り辺に垂直）
垂心 H	AH→·BC→=0, BH→·CA→=0	各頂点から対辺へ垂線（直交＝内積0）
内心 I	AI→=(b·AB→+c·AC→)/(a+b+c)	重み＝対辺の長さ。AI:ID=(b+c):a

■ オイラー線 OH→=3OG→　外心 O・重心 G・垂心 H は一直線（オイラー線）に並び、OH→=3OG→（よって OG:GH=1:2）。外心 O を基準にとると OH→=OA→+OB→+OC→ と簡潔に書ける（OG→=(OA→+OB→+OC→)/3 だから OH→=3OG→）。正三角形では4心が一致し OH→=0→。

【例題1：外心の係数決定】　AB=4, AC=6, BC=5 の △ABC の外心 O を AO→=s·AB→+t·AC→ で表す。まず AB→·AC→=(AB²+AC²−BC²)/2=(16+36−25)/2=27/2。外心の条件 AO→·AB→=|AB→|²/2=8, AO→·AC→=|AC→|²/2=18 に AO→=s·AB→+t·AC→ を代入すると 16s+(27/2)t=8, (27/2)s+36t=18。これを解いて s=4/35, t=16/35。同じ三角形の垂心は AH→·BC→=0, BH→·CA→=0 から AH→=(27/35)AB→+(3/35)AC→ となり、実際に OH→=3OG→ が成立する（オイラー線の確認）。

■ 角の二等分線と内心　∠A の二等分線は対辺 BC を AB:AC（=c:b）に内分する。その点を D とすると AD→=(b·AB→+c·AC→)/(b+c)。内心 I はさらに AD を (b+c):a に内分し、AI→=(b·AB→+c·AC→)/(a+b+c)、すなわち AI:ID=(b+c):a。これは「角の二等分線の性質」と「内分点公式」の融合である。

■ 共線・共点（交点・係数比較）　線分の交点 P を求める定石は2通りに表して係数比較：P が直線 AD 上なら AP→=k·AD→、P が別の直線上でも別パラメータで表し、1次独立な2ベクトルの係数を各々一致させる。3点が一直線 ⟺ メネラウスの定理の積=1、3直線が1点で交わる（共点）⟺ チェバの定理の積=1。比が外分（辺の外側）になる場合があることに注意。

■ 図形条件のベクトル翻訳

図形条件	ベクトル条件
∠A=90°（A で直角）	AB→·AC→=0
AB=AC（二等辺）	\|AB→\|=\|AC→\|
正三角形	\|AB→\|=\|BC→\|=\|CA→\|。a→+b→+c→=0→ かつ等長なら互いに120°
平行四辺形	対角線が互いを2等分（対角線の中点が一致）／対辺が等しい
3点 A,B,C が共線	AC→=k·AB→（1次従属）

■ 折り返し・反射・最短経路　直線 ℓ 上を動く点 P について AP+PB を最小にするには、A,B が ℓ の同じ側なら一方（B）を ℓ に関して対称移動した B' をとり、最小値は線分 AB'（P は AB' と ℓ の交点）。反対側ならそのまま線分 AB が最短（折り返し不要）。点 A の ℓ に関する対称点 A' は、A から ℓ への正射影の足 Hを用いて A'=2H−A（H が AA' の中点・AA'⊥ℓ）。正射影の足は方向単位ベクトル u→ で H=（ℓ上の基準点）+((A−基準点)·u→)u→。

【例題2：最短経路】　A(1,3), B(5,1)、x軸上の点 P で AP+PB を最小にする。両点とも y>0 で x軸の同じ側なので、B を x軸で折り返した B'(5,−1) をとると PB=PB' より AP+PB=AP+PB'≥AB'。最小値 AB'=√((5−1)²+(−1−3)²)=√(16+16)=4√2。等号は P が線分 AB' と x軸の交点のとき。

■ つまずきポイント

外心は「内積=辺²の半分」、垂心は「内積=0（直交）」。条件式の立て方を取り違えない。
内心の公式 (b·AB→+c·AC→)/(a+b+c) の a,b,c は対辺の長さ（a=BC が頂点Aの対辺）。重みと頂点の対応を逆にしない。
係数が負や1超でも誤りとは限らない（鈍角三角形では外心・垂心が三角形の外部に出る）。図で位置を確認。
最短は「同じ側→片方を折り返す」。反対側ならそのまま線分が最短で、折り返すと逆に長くなる。
メネラウス／チェバの比は内分・外分の向きに注意。交点が辺の延長上（外分）に出ることがある。