この単元について：2022年6月28日(火)実施・馬杉先生「5年物理基礎 1学期期末試験」の実物を、正しい模範解答つきで再現。g＝9.8 m/s²。記号(文字式)の問題は g を使う。「答えだけでよい」以外の設問は途中過程も書く（答えのみは採点対象外）。単位・有効数字の処理にも注意。

【1】力のつりあい・質点

(1) 穴埋め：① 働いていない（力がつりあう＝力が働いていないときと同じ運動になる）／ ② 等速直線運動／ ③ 静止／ ④ 等速度運動（静止は速さ0の等速度運動。2つをまとめると等速度運動。これが慣性の法則）。

(2) 質点とは、物体の大きさや形を無視して、質量だけが1点に集中していると理想化した点。運動を考えやすくするためのモデル。

【2】グラフ・力の合成・斜面・相対速度

(1) 位置 x[m] は x＝t²（x(2.0)＝4.0, x(4.0)＝16.0）。
① 平均の速度＝(16.0−4.0)/(4.0−2.0)＝12.0/2.0＝6.0 m/s。
② t＝2.0s の瞬間の速度＝接線の傾き＝4.0 m/s。

(2) 3力のつりあい（F₁＋F₂＋F＝0）：点Oから OA・OB 方向に分解し、F₁ と F₂ の合力が F と逆向き・同じ大きさになるように平行四辺形を作図する（F が下向きなら合力は上向き）。

(3) なめらかな斜面（傾き θ・質量 m）。
① 垂直抗力＝mg cosθ（斜面に垂直な重力成分とつりあう）。
② ばねの伸び：斜面方向のつりあい kx＝mg sinθ より x＝mg sinθ / k。

(4) 雨は鉛直に 10 m/s で降る。電車内では雨が鉛直方向と 60°。相対速度より tan60°＝(電車の速さ)/10 → 電車の速さ＝10·tan60°＝10√3 ≒ 17.3 m/s。

【3】川の相対速度（静水に対する速さ 5.0 m/s・流速 3.0 m/s）

(1) 上り：実効速度＝5.0−3.0＝2.0 m/s。時間＝100/2.0＝50 s。
(2) 船首を流れに垂直：渡る時間＝100/5.0＝20 s、流される距離＝3.0×20＝60 m。
(3) 垂直に進む条件：上流成分が流速を打ち消す 5.0 sinθ＝3.0 → sinθ＝0.6。

【4】鉛直投げ上げ（初速 19.6 m/s, g＝9.8）。上向き正で y＝19.6t−4.9t²、v＝19.6−9.8t。

設問	正しい答え
(1) 14.7m を通過する時刻	t＝1.0 s と 3.0 s（上り・下りの2回）
(2) 最高点までの時間	t＝19.6/9.8＝2.0 s
(3) 最高点の高さ	19.6×2.0−4.9×2.0²＝19.6 m
(4) 地面に戻る時間	t＝4.0 s（対称性で上りの2倍）
(5) 着地時の速度	19.6−9.8×4.0＝−19.6 m/s（下向きに 19.6 m/s）

【5】エレベーター v-tグラフ（0〜5.0s 一定加速、5.0〜15.0s 一定速度で上昇し地上から100m、その後一定加速度で減速し140mの屋上で停止）

(1) 等速の速さ v：加速区間の距離 ½·v·5.0 ＋等速区間 v·10 ＝100 → 12.5v＝100 → v＝8.0 m/s。注意：40 m/s ではない（加速区間は三角形の面積 ½vt）。
(2) 加速度＝v/t＝8.0/5.0＝1.6 m/s²。
(3) 減速区間は 100m→140m の 40m を 8.0 m/s から停止。0−8.0²＝2·a₃·40 → a₃＝−0.8 m/s²、所要 8.0/0.8＝10 s。総時間＝5.0＋10＋10＝25 s。

【6】上昇する気球（一定 2.8 m/s で上昇するかごの上端 P から小球を鉛直投げ上げ、1.0s 後に P とすれ違う。g＝9.8）

(1) すれ違う瞬間の P の高さ＝2.8×1.0＝2.8 m。
(2) 地上から見た小球の初速度 v₀：v₀×1.0−4.9×1.0²＝2.8（P の高さに一致）→ v₀＝7.7 m/s。
(3) すれ違う瞬間(t＝1.0s)の小球の速度＝7.7−9.8×1.0＝−2.1 m/s。気球に対する相対速度＝(−2.1)−2.8＝−4.9 m/s（下向きに 4.9 m/s）。注意：向きは下向き（初速の差 4.9 上向きと混同しない。t＝1.0s では下向き）。

【7】水平投射で必ず的に当たる証明（モンキーハンティング）。AB＝L, BC＝h, 初速 v₀, 仰角 θ。点Aから投げると同時に点Cから的を自由落下。

番号	正しい式
① 初速度の水平成分	v₀cosθ
② 初速度の鉛直成分	v₀sinθ
③ 直線BCに到達する時間	L/(v₀cosθ)
④ その時のボールの高さ	L tanθ − gL²/(2v₀²cos²θ)
⑤ その時の的の高さ	h − gL²/(2v₀²cos²θ)
⑥ tanθ	h/L
⑦ 不等式の右辺	0（⑤≧0）
⑧ 衝突する初速度の条件	(L/cosθ)·√(g/(2h))

⑥ tanθ＝h/L を代入すると ④＝⑤ となり、ボールと的は同時刻に直線BC上で同じ高さ＝必ず衝突する。ただしボールが地面に着く前に届く条件 ⑤≧0 を v₀ について解くと ⑧ が得られる。